<t->
          Tudo  Matemtica
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Roberto Dante

          Impresso Braille em
          9 partes, na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 3 edio, 1 impresso,
          So Paulo, 2011, 
          Editora tica

          Stima Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Gerente Editorial
          Mrcia Takeuchi

          Editora 
          Crmen Slvia Rela 
          Matricardi

          Editoras de Texto 
          Ldia La Mark
          Snia Scoss Nicolai
 
          Assessoria Didtica
          Clodoaldo Pereira Leite
          
          ISBN 978-85-08-12485-5

          2011
          Todos os direitos reservados 
          pela Editora tica S.A.
          Av. Otaviano Alves de Lima, 
          4.400 -- 5 andar e andar 
          intermedirio Ala A Freguesia do  -- CEP 02909-900 -- 
          So Paulo -- SP
          Tel.: 0800-115152 
          Fax: (11) 3990-1616
          ~,www.atica.com.br~,
          ~,editora@atica.com.br~,
<P>           
                                I
Sumrio

Stima Parte

Captulo 9
 
Permetros, reas e 
  volumes ::::::::::::::::::: 679 

1. Medindo contornos :::::: 681  
Permetro de um polgono ::: 682 
Permetro de uma 
  circunferncia :::::::::::: 683 
Equivalncia de 
  permetros :::::::::::::::: 690

2. rea de uma 
  superfcie :::::::::::::::: 692 
rea de uma regio plana 
  irregular ::::::::::::::::: 692  
Equivalncia de reas :::::: 697
Uma curiosa forma de clculo 
  de rea ::::::::::::::::::: 702
Pontos da fronteira e pontos 
  interiores :::::::::::::::: 702 
A frmula procurada :::::::: 704 
<p>
3. Volume de um slido 
  geomtrico :::::::::::::::: 707  
Equivalncia de volumes :::: 710 

4. Frmulas para o clculo 
  de permetros ::::::::::::: 712

5. Frmulas para o clculo 
  de reas :::::::::::::::::: 714  
rea de uma regio 
  retangular :::::::::::::::: 715 
rea de uma regio limitada 
  por um paralelogramo :::::: 718 
rea de uma regio 
  triangular :::::::::::::::: 724  
rea de uma regio limitada 
  por um losango :::::::::::: 732
rea de uma regio limitada 
  por um trapzio ::::::::::: 738 
Outras atividades envolvendo 
  reas ::::::::::::::::::::: 743 
Uma grande descoberta 
  envolvendo reas: a relao 
  de Pitgoras ::::::::::::: 758
<P>           
                             III
6. Frmulas para o clculo 
  da medida de volume ::::::: 764
Volume de um 
  paraleleppedo :::::::::::: 764 
Volume de um prisma 
  qualquer :::::::::::::::::: 767
Volume de uma pirmide ::::: 768 

Reviso cumulativa ::::::::: 772  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 781 

<228>
<p>
<Ttudo  mat. 8 ano>
<t+679>
Captulo 9 

<R+>
Permetros, reas e volumes 

Em que situaes do cotidiano precisamos calcular permetros, reas e volumes? 
<R->

  Acompanhe algumas delas. Troque ideias com seus colegas e tente resolv-las.

<R+>
1) Veja como Mrcia e Andr calcularam o permetro da sala de aula em que estudam. 
<R->
  Eles usaram uma trena para medir o comprimento e a largura da sala de aula e, depois, calcularam o seu permetro assim: 

<F->
P=15+6+15+6=42 
P=42 m 
<F+>

  Observe agora este pequeno lago _`[no adaptado_`].
<p>
  Voc tem ideia de como fazer para encontrar o seu permetro? 

<229> 
<R+>
2) Pedro e Renata precisavam calcular a rea de uma regio quadrada com lados de 3,5 cm. 
<R->
  Acompanhe como cada um deles fez. 
<R+>
<F->
 Pedro quadriculou a regio para determinar sua rea. Veja o que ele obteve: 
A=91+60,5+10,25=9+3+
  +0,25=12,25 
A=12,25 cm2 
 Renata, por sua vez, preferiu calcular essa rea efetuando a operao a seguir. 3,53,5=12,25
<F+>
<R->
  Ela tambm obteve A=12,25 cm2. 
  Observe agora a regio poligonal a seguir. Como voc faria para determinar a rea dessa regio, em centmetros quadrados? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
3) Andr calculou o volume do bloco retangular, em metros c-
  bicos, multiplicando as medidas de suas dimenses. Assim: 
V=1254,5=270 :> V=270 m3 
<F+>
<R->
  E como voc calcularia o volume, em centmetros cbicos, de uma vasilha cilndrica, como a da figura _`[no adaptada_`]? 

<R+>
Neste captulo voc vai aprender mais sobre o clculo de reas, permetros e volumes, bem como suas vrias aplicaes no dia a dia. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<230>
1. Medindo contornos 

  Voc j ouviu falar em permetro urbano?  a expresso usada para se referir ao contorno da parte urbana de um municpio. 
<p>
  Observe o permetro urbano da cidade de Belo Horizonte (MG), representado com uma linha amarela na imagem de satlite. 

_`[{figura no adaptada_`]

  Em Matemtica, permetro indica a medida do comprimento de um contorno. 

Permetro de um polgono 

  No caso dos polgonos, o permetro  obtido calculando-se a soma das medidas de comprimento de seus lados. 
  Veja, por exemplo, o clculo do permetro do polgono a seguir.  

<R+>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Dimenses:
^c?{a{b*=6,5 cm
^c?{b{c*=2,0 cm
^c?{c{d*=7,0 cm
^c?{d{a*=3,5 cm
<F+>
<R->
  
<F+>
<p>
  Permetro do polgono {a{b{c{d: 
<R+>
6,5 cm+2,0 cm+7,0 cm+3,5 cm=19 cm 

Permetro de uma circunferncia 
<R->

  Voc j sabe que o permetro ou a medida do comprimento de uma circunferncia, que indicamos por C,  dado pela frmula C=2^pr, em que r  a medida do raio dessa circunferncia e ^p  um nmero irracional aproximadamente igual a 3,14. 

<231> 
Atividades 

<R+>
<F->
1. Determine o permetro do polgono {a{b{c{d{e a seguir. 

_`[{figura adaptada_`]
Dimenses:
^c?{a{b*=5,8 cm;
^c?{b{c*=3,6 cm;          
^c?{c{d*=8,3 cm;
^c?{d{e*=2,5 cm;
^c?{e{a*=4,2 cm.
<p>
2. Qual  o valor, em centmetros, do permetro do retngulo a seguir? 

!:::::::::::::
l             _
l             _ 16 mm
l             _
l             _
h:::::::::::::j
   0,48 dm

3. O permetro de um quadrado  14,4 cm. Qual  a medida do lado desse quadrado? 
4. O permetro de um retngulo  de 20 cm. A largura do retngulo  de 3,5 cm. Qual  o comprimento desse retngulo? 
5. Jos vai cercar com uma tela um terreno que tem as medidas indicadas a seguir. Cada metro de tela custa R$6,50. Quanto ele vai gastar? 
<p>
              6,50 m
          *:::::::::::::
                       _
5,80 m                _ 4,60 m
                       _
                       _
     i::::::::::::::::::j
           8,40 m

6. O permetro do pentgono a seguir  de 14,5 cm. Qual  o valor de x? 
 
          ie
        i    e
   x  i        e x
    i            e
   i               e
  i                 e 
   e                i
    e              i
     e            i
3 cm e          i 2 cm
       e        i
        e::::::i
         1,5 cm
<p>
7. Usando ^p=3,14, calcule o comprimento de uma praa circular cujo raio  de 30 m. 
8. O comprimento da circunferncia de uma moeda de R$1,00  de aproximadamente 8,6 cm. Use ^p=3,1 e calcule a medida do raio dessa moeda.  

_`[{para as atividades 9 e 11, pea orientao ao professor_`]

9. A regio retangular a seguir foi separada de duas formas diferentes: 
 na primeira, em 5 regies, cada uma com permetro de 6 unidades 6 u; 
 na segunda, em 2 regies, cada uma com permetro igual a 12 unidades. 
Desenhe a mesma regio retangular em um papel quadriculado e separe-a em 3 regies, cada uma com permetro de 8 unidades. 
<p>
10. Descreva alguma situao da vida real na qual h necessidade de calcular um permetro. 
<F+>
<R->

<232>
11. Estimativa 
  Estime o permetro de cada um dos polgonos em centmetros. Depois, mea com uma rgua, calcule e confira se sua estimativa foi boa ou no. 
<F->
a)
             
         
          
           
            
             
              
 --------------u
<p> 
b)
!:::::::::::::::::
l                 _
l     $:::::::::::j
l     _ 
l     :::::::::::
l                 _
h:::::::::::::::::j

c)
!::::::::::::
l            _
l            _
l            _
l            _
l            _
l            _
l            _
h::::::::::::j
<F+>

<R+>
12. O permetro de um retngulo A  de 68 cm. Aumentando 3 cm no comprimento e diminuindo 20% na largura, obtm-se outro retngulo B de mesmo permetro. Quais so as dimenses dos dois retngulos? 
<R->
<p>
Voc sabia? 

  O estado de So Paulo faz divisa com os estados de Mato Grosso do Sul, Paran, Rio de Janeiro e Minas Gerais e tem uma parte de seu territrio banhada pelo oceano Atlntico. 

13. Uso de escala 
  A extenso das divisas de So Paulo com esses quatro estados mais a extenso de seu litoral  um exemplo de permetro. Analise a figura _`[no adaptada_`] com o mapa simplificado e calcule o valor aproximado do permetro do estado de So Paulo com base nas informaes dadas. 
  Escala: cada milmetro no mapa corresponde a 22 km no tamanho real. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Equivalncia de permetros 

  Nivaldo estava tentando explicar a Marcelo, seu irmo mais novo, o significado de permetro. Para ficar mais claro, ele pegou uma fita adesiva e um pedao de barbante de 8 cm e construiu com eles diversos contornos _`[no adaptados_`]:
  Observe que so contornos diferentes, mas com uma caracterstica comum: todos tm permetro de 8 cm. 

<233> 
Atividades  

<R+>
<F->
_`[{para as atividades 14 e 15, pea orientao ao professor_`]

14. Faa como Nivaldo. Construa contornos diferentes, dos quais dois deles sejam retngulos, s que agora todos devem ter permetro de 10 cm. (Use papel quadriculado em centmetros.) 
<p>
15. Use uma folha de papel quadriculado e apenas nmeros naturais. Quantos e quais retngulos voc pode desenhar com um permetro de 36 unidades? Um deles j est desenhado.  
16. O permetro de um terreno retangular  de 200 m. Para a construo de uma casa ser utilizada uma parte, tambm retangular, com permetro de 124 m, que tem 70% do comprimento e 50% da largura do terreno todo. Descubra as dimenses do terreno todo e da parte a ser construda. 

!::::::::::::
l         _   _
l         _   _
r:::::::::j   _   
l             _
l             _
h:::::::::::::j
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
2. rea de uma superfcie 

  Para revestir uma parede com azulejos, Adauto precisou exatamente de 360 azulejos. 
  Nesse caso, dizemos que a superfcie da parede tem rea de 360 unidades, considerando a superfcie de cada azulejo como unidade. 

<R+>
rea  a medida de uma superfcie. 

rea de uma regio plana 
  irregular 
<R->

  Veja como Luciana fez para encontrar a rea aproximada de uma regio irregular _`[no adaptada_`].
  Ela quadriculou a figura em centmetros quadrados, contou os quadradinhos e pde obter o valor aproximado para a rea dessa regio: 12 cm2. 

<234> 
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
17. Observe a figura do piso de um corredor e responda:

_`[{figura adaptada, onde o smbolo ** representa uma lajota_`]

!:::::::::::::::::::::
l  _  _  _  _  _  _  _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l  _  _  _  _  _  _  _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l  _  _  _  _  _  _  _
r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
l  _  _  _  _  _  _  _
h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j

a) Quantas lajotas h nesse piso?  
b) Qual  a rea da superfcie do corredor considerando a superfcie da lajota como unidade?  
<p>
_`[{para as atividades 18 e 19, pea orientao ao professor_`]

18. Considerando o ... como unidade, determine a rea aproximada da figura plana _`[no adaptada_`].  
 
19. Use papel quadriculado, faa os desenhos, recorte-os e cole-os em seu caderno. 

!::::::::::::::
l  _  _  _  _  _  _  _
r::w::w::w::w::w::w::w  
l  _  _  _  _  _  _  _   
r::w::w::w::w::w::w::w  
l  _  _  _  _  _  _  _  
r::w::w::w::w::w::w::w
l  __  _  _  _  _  _
r::w::w::w::w::w::w::w
l  _  _  _  _  _  _  _
h::j::j::j::j::j::j::j

!
l = unidade de comprimento
h 
<p>
!::
l_ = unidade de rea
h::j

Considerando as unidades indicadas, construa uma regio: 
a) com permetro de 10 unidades de comprimento; 
b) com rea de 7 unidades; 
c) com permetro de 8 unidades e rea de 3 unidades. 

20. H vrias situaes nas quais est envolvida a ideia de rea. Examine os quadros a seguir.

_`[{quadros adaptados_`]
Terrenos 
guas Claras -- 3.600 m2. 
  timo local, plano.
Alan Gray -- 1.000 m2 (2050), caminho I.
  R$20.000,00
Jd. S. Paulo -- 400 m2. R$13.000,00
<p>
Stios
B. Ferraz: 31 alqueires, casa, 3 barraces de granja p/30.000 frangos, estbulo novo, 3 represas.
B. dos Pereiras -- Rio Claro: 26 alqueires. 

Casas
R$60.000,00 -- Cd. Jardim -- Casa totalmente reformada c/abr., sala de estar, jantar, 2 dorms. sendo 1 sute, wc social, coz., lavand., grande quintal. Ter. 1030 m e 170 m2 aprox. de constr. 
<F+>
<R->

  Nesses quadros, aparecem duas diferentes unidades de rea. Pesquise e descubra quais so e o seu significado.
  Troque ideias com um colega e registre tudo no caderno.
<R+>
21. A superfcie do globo terrestre tem rea aproximada de 510.000.000 km2. Sabendo que 
<p>
  aproximadamente #:d da superfcie do globo terrestre so cobertos por gua, quantos km2 no esto cobertos de gua? 
<R->

<235> 
Equivalncia de reas 
 
  Luana desenhou uma regio plana retangular, {a{b{c{d, com dimenses 5 cm por 2 cm. A partir dessa regio plana, usando recortes e colagens, obteve outras quatro regies planas, conforme as ilustraes _`[no adaptadas_`].  

<F->
 A            B            
 !:::::::::::::
 l             _
 l             _  
 l             _
 l             _
 h:::::::::::::j
 D            C
<F+>

  Observe que so regies planas de formas diferentes, mas com uma 
<p>
 caracterstica comum: todas tm rea de 10 cm2. 

Atividades 

<R+>
<F->
22. Converse com um colega e procurem se lembrar: 
a) do significado de centmetro quadrado cm2.  
b) de como saber se as regies planas _`[no adaptadas_`] tm rea de 10 cm2. 

23. Construa e pinte mais quatro regies planas diferentes dos exemplos anteriores, todas com 10 cm2 de rea. Inclua entre elas uma regio retangular e uma regio triangular. (Use papel quadriculado.) 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
24. Considerando o centmetro como unidade de medida de comprimento r::w e o centmetro 
<p>
  quadrado como unidade de rea, determine o permetro e a rea das regies planas A, B, C e D. 

Quadrado como unidade de rea =
!::
l _
h::j

A           B
!::!::!::   !::!::   
l l l  _   l l _ 
r::r::r::w   r::r::w 
l l l _   l l _ 
r::r::r::w   r::r::w   
l l l _   l l _  
h::h::h::j   h::h::j  

C           D
!::!::!::   !::!::!::   
l l l _   l  l l  _ 
r::r::r::w   r::r::r::w 
l l l  _   l l l  _ 
r::r::r::w   r::r::r::w   
l l  l  _   l l l _
h::h::h::j   h::h::h::j  
<F+>
<R->
<p>
  Agora, indique duas dessas regies planas que tenham: 
<R+>
<F->
a) permetros iguais e reas diferentes.  
b) reas iguais e permetros diferentes.  
c) permetros diferentes e reas diferentes.
d) permetros iguais e reas iguais. 
<F+>
<R->
 
<236>
<F->
<R+>
_`[{para as atividades de 25 a 29, pea orientao ao professor_`]

25. Use uma folha de papel quadriculado e apenas nmeros naturais para medidas em centmetros. 
a) Quantas e quais regies retangulares voc pode desenhar com rea igual a 48 cm2? Uma delas est indicada no desenho _`[no adaptado_`]. 
b) Escreva em ordem crescente os nmeros naturais encontrados no item a. 
c) Que nmeros so esses? 
<p>
26. Faa o que se pede. 
a) Escreva todos os divisores de 36.  
b) Descreva todas as regies retangulares possveis com rea de 36 cm2 e os nmeros do item a como medidas de suas dimenses, em centmetros. 

27. Usando ... como unidade de medida, determine a rea de cada regio plana _`[no adaptada_`]. 
Responda em seu caderno: 
a) Qual  a regio que tem a menor rea?  
b) Qual  a de maior rea?  

28. Usando a rea de um quadradinho como unidade, construa em papel quadriculado regies planas com reas de 10 unidades, 12 unidades e 14,5 unidades. 
29. Um corredor da casa de Gabriela foi revestido com lajotas quadradas. Veja uma parte dele _`[no adaptado_`].  
<p>
Responda no caderno: 
a) O corredor todo mede 1 m por 10 m. Quantas lajotas foram usadas para revesti-lo? 
b) Se o metro quadrado de lajota custou R$6,20, quantos reais foram gastos para revestir o corredor? 
<F+>
<R->

<237>
<R+>
Uma curiosa forma de clculo de 
  rea 

Pontos da fronteira e pontos 
  interiores 
<R->

  Todas as regies planas poligonais _`[no adaptadas_`] tm seus vrtices localizados em pontos da malha pontilhada. Examine cada uma delas e procure descobrir a rea de cada figura tendo ... como unidade. 
  Voc deve ter achado mais difcil determinar as reas das regies c e d. Aqui voc ver mais 
 uma vez o benefcio de uma frmu-
<p>
 la. Antes, veja o que so pontos 
 da fronteira e pontos interiores de uma regio poligonal. 

_`[{o professor diz_`]
  "Pontos da fronteira so os pontos do pontilhado localizados sobre os lados da figura. Pontos interiores so os pontos do pontilhado localizados no interior da regio plana."

<R+>
<F->
f: nmero de pontos da fronteira 
i: nmero de pontos interiores 
Na figura _`[no adaptada_`], temos f=9 e i=6. 

Atividades  

_`[{para as atividades 30 e 31, pea orientao ao professor _`]

30. Determine o nmero de pontos da fronteira (f), o nmero de 
  pontos interiores (i) e a rea de cada regio poligonal _`[no adaptada_`]. 
<p>
31. Discuta com um colega e, juntos, descubram uma frmula que fornea a rea A em funo dos valores de f e de i. Testem a frmula que encontraram nas figuras a, b, c e d _`[no adaptadas_`] da pgina 702.  
<F+>
<R->

<238> 
A frmula procurada 

  Confiram com o que vem a seguir se a frmula que vocs acharam  vlida. 
  Vamos ver, por meio de um fluxograma, como obter a frmula que d a rea A de uma regio poligonal em funo de f e i sempre que os vrtices so pontos de uma malha pontilhada. 

<R+>
<F->
Fluxograma :> Exemplo: f=11 e i=4  
Incio  
Escreva f. -- f :> 11 
<p>
Multiplique f por #,b. -- #,b f :> #,,b 
Some i a esse nmero. -- #,b f+i :> #,,b+4 ou #,*b 
Subtraia 1 do resultado. -- #,b f+i-1 :> #,*b-1 ou #,=b ou 8#,b
Escreva esse nmero como sendo a rea A. -- A#,b f+i-1 :> A rea  8#,b unidades ou 8,5 unidades. 
Fim 
<F+>
<R->

  Com a frmula obtida podemos calcular a rea de outras regies planas. Veja nas regies poligonais I e II _`[no adaptadas_`] da pgina 703. 
<R+>
<F->
I) f=8 e i=1 :> A=(4+1)-
  -1=4 unidades 
II) f=10 e i=2 :> A=
  =(5+2)-1=6 unidades 
<F+>
<R->

<239>
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
_`[{para as atividades de 32 a 35, pea orientao ao professor_`]

32. Calcule as reas das regies III e IV _`[no adaptadas_`] da pgina 703 usando a frmula determinada. 
33. Use a mesma frmula e determine a rea destas figuras planas _`[no adaptadas_`] usando ... como unidade. 
 
34. Estimativa 
<F+>
<R->
  Estime a rea desta regio 
 _`[no adaptada_`] limitada por uma linha curva e registre sua estimativa. 
<R+>
<F->
Vejamos como conferir essa estimativa. Indique cada etapa no caderno. 
a) Conte apenas as unidades inteiras que cabem na figura. Quantas so? 
<p>
b) Conte todas as unidades parciais (partes da unidade) da figura. Quantas so?  
c) Divida o nmero de unidades parciais por 2, pois uma parte pode ser um pouco maior ou um pouco menor do que a metade. Assim, temos um valor mdio. 
d) Some o nmero encontrado com o nmero de unidades inteiras e indique a rea aproximada da figura.  
e) Sua estimativa inicial aproximou-se desse valor? 

35. Estime e depois determine a rea aproximada destas regies _`[no adaptadas_`]: 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<240>
<R+>
3. Volume de um slido 
  geomtrico 
<R->

  Felcio achou muito til a aula de Matemtica sobre volumes. Co-
<p>
 mo seu pai havia reclamado do consumo de gua em sua casa, Felcio ficou curioso para saber como se 
 calcula a quantidade de gua de uma caixa-d'gua. No final do captulo voc vai saber. 
  Antes, vamos recordar com Felcio o significado de medida de volume. 
  Examine estes desenhos. 

<R+>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Um tijolo na forma de um paraleleppedo (unidade) e ao lado uma pilha com tijolos.
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "O espao ocupado pela pilha de tijolos corresponde a 54 vezes o espao ocupado por um tijolo."

_`[{felcio diz_`]
  "J me lembrei: dizemos que a medida do volume da pilha  de 54 unidades, considerando o volume de cada tijolo como unidade."
<p>
Voc sabia? 
 
  A medida do volume do globo terrestre  de aproximadamente 
 1.083.207.000.000 km3, ou seja, um trilho, oitenta e trs bilhes e duzentos e sete milhes de quilmetros cbicos. 

<R+>
Atividades 

_`[{para as atividades 36 e 37, pea orientao ao professor_`]

36. Considere o centmetro cbico como unidade e calcule a medida do volume de cada um destes slidos geomtricos _`[no adaptados_`]:
<R->
<241>  
<R+>
<F->
37. Ainda considerando o centmetro cbico como unidade, use uma folha de papel quadriculado e faa o desenho de dois slidos (um deles deve ser um bloco retangular), ambos com volume de 10 cm3.  
<p>
38. Lcio queria saber o volume de uma vasilha cilndrica. Para isso ele montou um cubo com 2 cm de aresta, retirou a tampa e vedou-o com fita isolante. Em seguida, foi enchendo o cubo com areia e despejando na vasilha. Para ench-la, foram necessrios 4 cubos e meio. Qual o volume da vasilha?  

Equivalncia de volumes 
<F+>
<R->

  Com 12 cubinhos de 1 cm3 cada um, Marta construiu um bloco retangular. Depois ela foi mudando a posio dos cubinhos e montou outros slidos. Veja: 

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Esses so slidos geomtricos com formas diferentes, mas com uma caracterstica comum: todos tm volume de 12 cm3. 
<p>
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 39 a 41, pea orientao ao professor_`]

39. Use uma folha de papel quadriculado em centmetros e desenhe outros dois slidos com volume de 12 cm3 (um deles deve ser um bloco retangular diferente do que Marta fez). 
<R->

40. Atividade em dupla 
  Converse com seu colega e respondam: 
<R+>
<F->
a) Se a unidade de medida de volume fosse esta desenhada _`[figura no adaptada_`], qual seria o volume dos slidos feitos por Marta?  
b) Dos trs slidos de Marta, quais so poliedros convexos?  
<p>
41. Observe o slido _`[no adaptado_`], construdo com cubinhos de 1 cm3. Determine: 
a) o nmero de faces, de vrtices e de arestas. 
b) o permetro da face que aparece pintada de verde. 
c) a rea da face que aparece pintada de amarelo.  
d) o volume desse slido. 
Em seguida, faa o desenho desse slido visto de cima. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<242> 
<R+>
4. Frmulas para o clculo de 
  permetros 
<R->

  Voc j viu que o permetro de uma regio plana cujo contorno  um polgono  dado pela soma das medidas dos lados desse polgono. 
  Quando o polgono que determina a regio poligonal  regular, podemos achar o permetro multiplicando o nmero de lados pela medi-
<p>
 da do lado do polgono, j que as medidas dos lados so todas iguais. 
  Por exemplo: o permetro de um tringulo equiltero com lados de medida y pode ser indicado pela frmula P=y+y+y ou P=3y. 

Atividades

<R+>
<F->
42. Escreva a frmula que indica o permetro de cada um dos polgonos _`[no adaptados_`].  
a) Pentgono com dois lados de medida x, dois de medida y e um lado de medida z. 
b) Quadrado com lado de medida a.  
c) Um hexgono regular com lados de medida l. 
<p>
43. Um terreno retangular tem 18,5 m de comprimento e 47,38 m de permetro. Qual  a medida da largura desse terreno?  
44. Em um tringulo {a{b{c, o lado ^c?{a{b* mede 4 cm a menos do que a medida do lado ^c?{a{c*, a medida do lado ^c?{b{c*  igual a #:e da medida do lado ^c?{a{c* e o permetro  de 22 cm. Determine a medida dos trs lados desse tringulo.  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
5. Frmulas para o clculo de 
  reas 
<R->

  Vamos estudar agora frmulas que nos possibilitam achar a rea das principais regies planas poligonais. 
<p>
rea de uma regio retangular 

  Voc j viu: a frmula que fornece a rea A da regio retangular a seguir :

<F->
!:::::::::::::
l             _
l             _ h 
l             _
l             _
h:::::::::::::j
      b
<F+>

<F->
<R+>
h (medida da largura ou da 
  altura) 
b (medida do comprimento ou da base) 

A=b.h 
<F+>
<R->

  Lembrando que o quadrado  um caso particular de retngulo, a frmula que fornece a rea da regio quadrada a seguir : 
<p>
<F->
        l
  pccccccpcc
  l_-_    l_-_
  v--#    v--#
l l          _ l
  l          _
  pcc    pcc
  l_-_    l_-_
  v--#----v--#  
        l
<F+>

A=l.l ou A=l2

<243> 
Atividades 

<R+>
<F->
_`[{para as atividades 45 e 46, pea orientao ao professor_`]

45. Determine a rea da parte pintada de azul na figura _`[no adaptada_`]. 
46. Um hectare (ha)  uma unidade agrria de rea. Equivale  rea de uma regio quadrada cujo lado mede 100 m. Determine a rea, em hectares, da chcara ilustrada _`[no adaptada_`]. 
<p>
47. Se a frmula para o permetro de uma regio quadrada  P=4a, qual  a frmula para a rea dessa mesma regio quadrada? 
48. Uma regio retangular tem 45 cm2 de rea e 28 cm de permetro. Determine o comprimento e a largura dessa regio. 
49. Uma lata de fertilizante  o suficiente para uma rea de 600 m2. Jferson vai us-lo em seu terreno de 50 m por 75 m. Quantas latas de fertilizante ele gastar? 
50. O Maracan  o maior estdio de futebol do Brasil. As dimenses do seu campo de futebol so de 110 m por 75 m. Qual  a rea do campo de futebol do Maracan? Ela  maior ou menor do que 1 ha? 
<F+>
<R->
<p>
Desafio

  Determine o permetro e a rea da regio _`[no adaptada_`].

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<244>
<R+>
rea de uma regio limitada por 
  um paralelogramo 
<R->

  O professor Nei estava falando sobre paralelogramos quando Jorge levantou a mo e perguntou: 

_`[{jorge pergunta_`]
  "O que  mesmo paralelogramo?"

_`[{o professor responde_`]
  " todo quadriltero que tem os lados opostos paralelos."

<F->
    cccccccccccccccm 
                  
                 
                
---------------
<F+>
<p>
  Reproduza a figura 1 e faa a experincia mostrada pela sequncia de figuras a seguir. 

<F->
Figura 1:

       ccccccccccccccccm 
       _                
       _                
       _ h           
       _            
    !::w::        
    l_-__-_       
----v--#--#------
        b

h (medida da altura)
b (medida da base)
<p>
Figura 2:

       _ pccccccccccccccccm 
       _ l                
       _ l                
       _ l             
       _ l            
    !::w r::        
    l_-_ l_-_       
----v--# v--#------

Figura 3:

pccccccccccccccccm 
l               _ 
l               _  
l               _ h
l               _
l            !::w
l            l_-_  
v------------v--#
        b
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "A sequncia anterior de figuras mostra a equivalncia da rea da regio determinada pelo paralelogramo com a rea da regio retangular, ambas de base com medida b e altura com medida h."

  Com isso, podemos concluir que a frmula que fornece a rea A da regio determinada por um paralelogramo cuja base mede b e a altura relativa a ela mede h  dada por: 

A=b.h 

Atividades  

<R+>
<F->
51. Procure lembrar-se de mais informaes sobre os paralelogramos respondendo a estas questes: 
<p>
a) Como so as medidas dos quatro lados? 
b) Como so as medidas dos ngulos opostos? 
c) Como so as medidas de dois ngulos no opostos?  
d) Qual  a soma das medidas dos quatro ngulos?  
e) As medidas das diagonais so sempre iguais? 
f) Suas diagonais cortam-se ao meio?  
g) Todo retngulo  um paralelogramo?  
h) Todo quadrado  um paralelogramo?  
i) Todo paralelogramo  um retngulo?  
j) Todo losango  um paralelogramo?  
k) Todo paralelogramo apresenta simetria axial?  
l) Todo paralelogramo apresenta simetria central?  
<F+>
<R->

<245> 
<p>
<R+>
<F->
52. Determine a rea da regio a seguir.

 ccccccccccccccccc
                  l 
                  l    
             4 m l   
5 m              l    
                  r::  
                  l_-_   
        ----------v--#---u
             9 m

_`[{para as atividades 53 e 54, pea orientao ao professor_`]

53. Analise a figura a seguir e descubra como construir com rgua e esquadro regies planas que tm como contorno um paralelogramo. Troque ideias com os colegas. Em seu caderno, construa trs regies planas diferentes, todas tendo como contorno um paralelogramo. Use rgua e esquadro.  
<p>
54. Um paralelogramo tem 18 cm de permetro, 2 cm de altura e um dos lados mede o triplo da medida da altura.  
a) Esboce o desenho desse paralelogramo com suas medidas.  
b) Calcule a rea da regio determinada por ele.  
<F+>
<R->

Voc sabia? 
 
  Os segmentos que ligam os pontos mdios de um quadriltero convexo qualquer formam um paralelogramo. Desenhe outros quadrilteros e verifique essa informao.  

rea de uma regio triangular 

  Examine a figura _`[no adaptada_`] que Juliana e seu pai montaram. 
  Se voc analis-la com ateno, perceber que duas regies triangulares congruentes podem formar uma regio com forma de paralelogramo. 
<p>
  Como a rea da regio limitada pelo paralelogramo  b.h, ento a rea da regio triangular  dada por: 

<R+>
<F->
A=?b.h*~2 
Medida da base vezes medida da altura dividido por 2.
<F+>
<R->
 
<246>
Atividades  

<R+>
55. Use a frmula da rea da regio triangular e determine a rea de cada uma destas figuras. 
 
<F->
        12 m
     !::::::::
     l      ^
5 m l    ^ 13 m
     l  ^ 
     l^
     ^
<p>
b) 
             
          i_ 
 20 mm i  _   15 mm 
      i    _    
    i    12 mm 
  i        _     
 ----------#------o
       25 mm
            
c)        
              ,w
            *a _
          *a   _
        *a     _     
      *a       _ 16 m
    *a     i    _
  *a           _
 j:::::::i::::::j
  20 m

56. Calcule a rea da regio a seguir. Os valores so dados em centmetros. 
<p>
<F->
                    -
                  *a_
                *a  _
              *a    _ 2
            *a      _     
          *a        _ 
        *a    !:::::j
      *a   1 l 1,5  
    *a        l        
   j::::::::::b
      2,5
<F+>

_`[{para as atividades 57 e 58, pea orientao ao professor_`]
<R->

57. Doce lar! 
  Aproximadamente, de quantos metros quadrados de madeira Felipe precisar para construir uma casinha sem porta para seu co Fight? (Considere as medidas e use calculadora.) 

<R+>
58. Considere a unidade indicada a seguir e determine a rea da parte pintada em cada item. 
<R->
<p> 
_`[{figuras no adaptadas_`]

<247>
<R+>
<F->
59. A figura mostra o local onde ser realizado um evento cultural. Calcule a quantia que ser arrecadada com base nas seguintes informaes se os trs setores ficarem lotados: 

Legenda:
  vd: verde
  am: amarelo
  az: azul

      !:::::::::
      l  palco  _
      r:::::::::w
      l_
      r:::::::::w::::
     il         _    _
    i l         _    _
   i  l         _    _ 12 m
  i   l         _    _
 i vd l   am    _ az _
j:::::h:::::::::j::::j
 8 m    12 m   5 m
<p>
 O setor amarelo abriga, quando lotado, 720 pessoas.
 O preo do ingresso varia de acordo com o setor, da seguinte forma:

Amarelo: R$15,00  
Azul: R$10,00  
Verde: R$12,00  

Leitura 
 
Outra frmula para o clculo da 
  rea de regies triangulares 
<F+>
<R->

  Voc j viu que a rea de uma regio triangular pode ser calculada pela frmula A=?b.h*~2, na qual b indica a medida da base e h indica a medida da altura correspondente. 
  Existe uma frmula, conhecida como frmula de Heron, com a qual se pode calcular a rea da regio triangular a partir da medida de seus trs lados (a, b, c). 
<p>
<R+>
A=?pp-ap-bp-c*, com 
  p=?a+b+c*~2
<R->

Heron de Alexandria 

  Matemtico e inventor grego. No se sabe ao certo a data de seu nascimento (? 126 a.C.) nem de sua morte (? 50 a.C.). 
  Em seu principal trabalho sobre geometria, denominado Mtrica, Heron enumerou diferentes maneiras de determinar a rea de regies triangulares, de regies limitadas por quadrilteros, por polgonos regulares de trs a doze lados, por elipses e rea do crculo, bem como o volume de cilindros, cones e esferas. 
  Nesse trabalho se inclui a conhecida frmula que permite calcular a rea de uma regio triangular sendo conhecidas as medidas dos seus lados, que voc acabou de ver, e que  conhecida como frmula de Heron. 
<p>
  Heron foi tambm inventor de mquinas, como o odmetro (sistema de engrenagens combinadas para 
 contar as voltas de uma roda) e a eolipila (um precursor da turbina a vapor). 

Agora  sua vez! 
<R+>
<F->
1. Calcule a rea deste terreno triangular com um ngulo interno reto, usando as duas frmulas. 

     
     l^
     l  ^
     l    ^
6 m l      ^ 10 m
     l        ^
     l          ^
     h::::::::::::j  
         8 m

2. Use a frmula de Heron e calcule a rea das regies triangulares com as seguintes medidas: 
<p>
a) lados de 13 cm, 13 cm e 10 cm; 
b) lados de 4 cm, 4 cm e 4 cm.  
<F+>
<R->

<248>
<R+>
rea de uma regio limitada por 
  um losango 
<R->

  Bia sabe o que  um losango. E voc, se recorda? 

_`[{bia diz_`]
  "Do losango eu me lembro bem:  todo quadriltero que tem os quatro lados com medidas iguais."

  Lembre-se tambm de que: 
<R+>
<F->
 todo losango  um paralelogramo, por isso as propriedades vistas do paralelogramo tambm so vlidas para o losango; 
 o quadrado  um caso particular de losango; 
 as diagonais do losango, alm de se cortarem ao meio, so perpendiculares e bissetrizes dos ngulos internos. 
<F+>
<R->
  A sequncia das figuras a seguir mostra que a rea da regio 
<p>
 determinada por um losango de diagonais medindo D e d corresponde 
  metade da rea de uma regio retangular de comprimento D e largura d. 

<F->
        aaaaaaaaaaal
       l           l
       l           l
       l           l
       l           l
       l           l      
       l           l       
       l           l        
-------v--------u   l D
l      l       _   l
l      l       _   l
l      l       _   l
l      l       _   l
l      l       _   l
l      l       _   l
l      l       _   l
l       ......._...l
l                _
l................#
        d
<p>
D: medida da diagonal maior 
d: diagonal menor
      
       l_
       l_ 
       l_   
       l_    
       l_         
       l_           
       l_              
-------l_-------u
cccccccl_cccccccm
       l_      
       l_      
       l_      
       l_   
       l_  
       l_ 
       l_
        
<p>
<F->
         d
!:::::::::::::::::
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l:::::::r:::::::o_ D
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l       l       _
l       l       _
h:::::::::::::::::j

rea da regio retangular: D.d 

  Assim, a rea da regio determinada por um losango  dada por: 

A=?D.d*~2 
<p> 
  Veja outra maneira de chegar  frmula da rea da regio determinada por um losango de diagonal maior medindo D e diagonal menor de medida d: 

<F->
        
       _ 
       _  
       _    
       _     
       _          
  D2_            
       _               
:::::::j::::::::o
       d       
               
               
            
           
          
         
        
<F+>
<p>
  Traamos apenas uma das diagonais, por exemplo a menor, de me-
 dida d. A regio fica ento dividida em duas regies triangulares iguais de base d e altura D~2, pois as diagonais em um losango so perpendiculares e se cortam ao meio. 
  Dessa forma, a rea A da regio cujo contorno  um losango de diagonais medindo D e d pode ser obtida assim: 
 
<R+>
A=2.?d.D~2*~2=d.D~2=
  =?d.D*~2 
<R->

<249>
Atividades 

<R+>
<F->
60. A figura _`[no adaptada_`] mostra uma regio plana {a{b{c{d cujo contorno  um losango, com as seguintes medidas: {a{b=13 cm, {a{c=24 cm e {b{d=10 cm. 
Determine:  
<p>
a) as medidas dos lados ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{d{a*.  
b) a medida da diagonal maior. 
c) a medida da diagonal menor.  
d) a rea da regio plana {a{b{c{d.  
e) a rea da regio plana {e{f{g{h.  

61. Faa a verificao da frmula A=?D.d*~2 traando apenas a diagonal maior. 
62. Em um losango a diagonal maior mede 32 cm e cada lado mede 4 cm a menos do que a diagonal menor. Calcule o permetro desse losango, sabendo ainda que a rea da regio determinada por ele  de 384 cm2. 

rea de uma regio limitada por um trapzio 
<F+>
<R->

  Depois da dvida de Jorge sobre paralelogramo, o professor Nei iniciou a aula de uma maneira diferente. Veja: 
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "O que  um trapzio? Algum se lembra?"

_`[{o menino diz_`]
  "Eu me lembro:  todo quadriltero que tem apenas dois lados paralelos."
 
  Observe a regio limitada por um trapzio. 
  Duas dessas regies podem formar uma regio com forma de paralelogramo. 

<F->
       base menor
      !:::::::::,
     il           ^
    i l             ^
   i  l altura        ^
  i   l                 ^
 i    l                   ^
j:::::h:::::::::::::::::::::j
          base maior
<F+>
<p> 
<R+>
<F->
B: medida da base maior 
b: medida da base menor 
h: medida da altura 

B+b: medida da base 
h: medida da altura 
<F+>
<R->

  Como a rea da regio limitada pelo paralelogramo  B+b.h, ento a rea da regio que tem a forma de trapzio : 

A=?B+b.h*~2 
 
<250>
  Veja outra maneira de chegar  frmula da rea da regio cujo contorno  um trapzio: 
  Traamos uma das diagonais da regio trapezoidal. 
  Essa regio fica dividida em duas regies triangulares, uma de base medindo B e altura h e outra de base b e altura h. 
  Assim, a rea da regio trapezoidal  dada por: 
<p>
<R+>
<F->
A=?B.h*~2+?b.h*~2=?Bh+
  +bh*~2=?B+b.h*~2 

Atividades 

63. Use os valores indicados em cada figura e calcule a rea das regies determinadas pelos trapzios. 
a)
             2 m
           ::::::,
         ^_        ^
 5 m  ^  _          ^ 5 m
     ^    _            ^
   ^      _ 4 m         ^
 ^        _                ^
j::::::::::j::::::::::::::::::j           
:::::::::::::::::::::::::::::o
            8 m
<p>
b)
        1,5 cm
        !:::::,
        l       ^
        l         ^
2,5 cm l           ^
        l             ^
        l               ^
        h:::::::::::::::::j
              4 cm

64. O terreno de Berenice foi dividido em trs regies para uma plantao, de acordo com o indicado na figura. A regio laranja tem como contorno um paralelogramo; a verde, um tringulo; e a azul, um trapzio. Observe as medidas e os ngulos retos da figura. Calcule a rea de cada regio e, de duas formas diferentes, a rea do terreno de Berenice. 
<p>
_`[{figura adaptada_`]
Legenda:
  la: laranja
  vd: verde
  az: azul

           10 m      30 m
           :::::::::::::::
         ^  ^ ^          _
       ^  ^     ^        _  
     ^la^   vd    ^  az  _20 m
   ^  ^             ^    _
 ^  ^                 ^  _
j:::j:::::::::::::::::::::j:j
              40 m       8 m
    :::::::::::::::::::::r:o   
<F+>

Outras atividades envolvendo 
  reas 
<F+>
<R->
 
  Vejamos mais algumas situaes em que voc pode aplicar os conhecimentos obtidos sobre reas. 
<p>
Atividades 

<R+>
65. No Japo, frequentemente a rea do piso dos cmodos de uma casa  dada em termos de um tapete especial chamado *tatame*. Suas dimenses so: 90 cm por 180 cm ou 0,90 m por 1,80 m. As dimenses de uma sala cuja rea  de 8 tatames podem ser, por exemplo, de 7,20 m por 1,80 m ou de 3,60 m por 3,60 m. 
<R->

<F->
              Tatame
         !::::::::::::::
         l       _       _
0,90  m l       _       _ 
         l       _       _
         l       _       _
         h:::::::j:::::::j
              1,80 m
<F+>

<R+>
Veja as figuras _`[no adaptadas_`]. 
<R->
<p>
<251>
  Com base nas informaes do texto, resolva a seguinte questo: 
  O piso de um salo retangular tem rea de 32 tatames. Use um papel quadriculado e desenhe de duas maneiras diferentes a forma que pode ter o piso. Para cada uma delas, determine as dimenses do piso do salo em metros.  

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
66. Calcule a rea, em centmetros quadrados cm2, da regio determinada pelos seguintes polgonos: 
a) Quadrado com 17,2 cm de permetro.  
b) Retngulo de 120 mm por 9 cm.  
c) Losango cujas diagonais medem 39 mm e 0,2 dm. 
d) Trapzio com 4 cm de altura e bases de 0,03 m e 0,7 dm. 
<p>
e) Tringulo retngulo com lados de 3 dm, 400 mm e 50 cm. 
f) Tringulo com 40 cm de base e altura medindo #;e da base. 
g) Paralelogramo com 7#,b cm de base e altura medindo 20% da base.  
h) Retngulo cujo comprimento mede o triplo da largura e tem permetro de 16,8 cm. 

67. Determine a medida: 
a) do lado de uma regio quadrada com 151,29 cm2 de rea. 
b) da altura de uma regio triangular com 5,5 cm de base e 8,25 cm2 de rea.  
c) da diagonal menor de uma regio determinada por um losango que tem 7,6 cm de diagonal maior e 17,1 cm2 de rea.  

68. Determine a rea da regio _`[no adaptada_`].
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<252>
<p>
69. Observando regularidades 
  A tabela a seguir apresenta as dimenses de retngulos, o permetro e a rea da regio correspondente. Copie-a e complete-a com o que falta, diminuindo o comprimento e aumentando a largura de meio em meio cm. Duas linhas j esto feitas. Para cada caso, faa a figura correspondente. 

<F->
         9 cm
!:::::::::::::::::::
l                   _ 1 cm
h:::::::::::::::::::j
<F+>

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em trs colunas_`]
1 coluna: Dimenses
2 coluna: Permetro
3 coluna: rea
<p>
!::::::::::::::::::::::::::::::
l 1      _ 2   _ 3         _
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l 9 cm por_       _             _ 
l 1 cm    _ 20 cm_ 9 cm2    _
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l 8,5 cm  _       _             _ 
l por 1,5 _       _             _
l cm       _ 20 cm_ 12,75 cm2_
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l 8 cm por_       _             _ 
l 2 cm    _ '''   _ '''         _
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l '''      _ '''   _ '''         _
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l '''      _ '''   _ '''         _
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l '''      _ '''   _ '''         _
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l '''      _ '''   _ '''         _
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l '''      _ '''   _ '''         _
r::::::::::w:::::::w:::::::::::::w
l '''      _ '''   _ '''         _
h::::::::::j:::::::j:::::::::::::j
<F+>
<R->

<R+>
<F->
Finalmente responda e confira com os colegas: 
<p>
a) Como so os permetros dos retngulos analisados?  
b) De todas as regies retangulares, qual apresentou a maior rea?  

70. Retome as respostas que voc e seus colegas deram na atividade anterior. Depois, analise mais estes casos e calcule a maior rea possvel determinada por: 
a) retngulos de 24 cm de permetro; 
b) retngulos de 16 cm de permetro; 
c) retngulos de 22 cm de permetro; 
d) retngulos de 40 m de permetro. 
<p>
71. Faa o que se pede. 
a) Calcule o permetro de cada um destes quadrados: 

!::
l  _
h::j
1 cm

!:::::
l     _
l     _
l     _
h:::::j
 2 cm

!::::::::::
l          _
l          _
l          _
l          _
l          _
l          _
h::::::::::j
   3 cm 
<p>
!:::::::::::::::
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
h:::::::::::::::j 
     4 cm

<253> 
b) Copie e complete a tabela a seguir, que relaciona a medida do lado e o permetro correspondente do quadrado, indicando essa relao por meio de um par de nmeros. 

_`[{tabela adaptada em trs colunas_`]
1 coluna: Medida do lado (l) (em cm)
<p>
2 coluna: Valor do permetro (p) (em cm)
3 coluna: Par de nmeros (l, p)

!:::::::::::::::::::::::
l 1 _ 2 _ 3         _
r:::::w:::::w:::::::::::::w
l 1  _ ''' _ '''         _
r:::::w:::::w:::::::::::::w
l 2  _ ''' _ '''         _
r:::::w:::::w:::::::::::::w
l 3  _ 12 _ 3, #ab   _
r:::::w:::::w:::::::::::::w
l 4  _ ''' _ '''         _
r:::::w:::::w:::::::::::::w
l 5  _ ''' _ '''         _
r:::::w:::::w:::::::::::::w
l 6  _ ''' _ '''         _
h:::::j:::::j:::::::::::::j

c) Para cada par ordenado de nmeros, podemos associar um ponto, como, por exemplo, o par 3,#ab j marcado. Copie o 
<p>
  grfico _`[no adaptado_`] em seu 
  caderno e complete-o com os demais pares ordenados. 
<F+>
<R->

<R+>
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<F->
72. Copie em seu caderno e complete a tabela seguinte, relacionando agora a medida do lado (em centmetros) com a rea da regio quadrada (em centmetros quadrados). Em seguida construa um grfico marcando os pontos dos pares ordenados obtidos. 

_`[{tabela adaptada em trs colunas_`]
1 coluna: Medida do lado (l) (em cm)
2 coluna: Valor da rea (A) (em cm2)
3 coluna: Par de nmeros (l, A)
<p>
!:::::::::::::::::::::
l 1 _ 2 _ 3       _
r:::::w:::::w:::::::::::w
l 1  _ 1  _ 1,#a   _
r:::::w:::::w:::::::::::w
l 2  _ ''' _ '''       _
r:::::w:::::w:::::::::::w
l 3  _ ''' _ '''       _
r:::::w:::::w:::::::::::w
l 4  _ ''' _ '''       _
r:::::w:::::w:::::::::::w
l 5  _ ''' _ '''       _
r:::::w:::::w:::::::::::w
l 6  _ 36 _ 6,#cf  _
h:::::j:::::j:::::::::::j

73. Com um colega, analise as situaes das atividades 71 e 72 e compare os dois grficos que vocs montaram. Respondam: Os pontos ficaram alinhados nos dois grficos? Por qu? 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<254>
<p>
<R+>
<F->
74. Determine a rea da regio a seguir.  

     6 cm
!:::::::::::::: ,,,
l            ^     _
l          ^       _
l                  _ 2,0 cm
l          ^       _
l            ^     _
h::::::::::::::j ,,,j
            r::w
          1,5 cm

75. Descubra, por tentativas, as dimenses de uma regio retangular com 40 cm de permetro e 75 cm2 de rea.  
76. Calcule a rea total da superfcie de uma pirmide que tem a base quadrada com lados de 10 cm e as demais faces so regies triangulares de altura medindo 13 cm.  
<p>
77. Em uma indstria so fabricadas caixas de papelo na forma de bloco retangular com dimenses de 40 cm, 50 cm e 60 cm. 
a) Para fabricar uma caixa gasta-se mais ou menos de 1 m2 de papelo? 
b) Quantos metros quadrados de papelo so gastos para fabricar 300 caixas?  

78. Marina tem um terreno retangular de 60 m por 40 m e quer construir nele dois canteiros: um quadrado com lados de 15 m e 
  outro triangular, conforme indica a figura. No restante do terreno, Marina pretende colocar pedregulhos. Calcule quantos metros quadrados sero cobertos com pedregulho. 
<p>
       60 m
!::::::::::::::::::
l !:::           _
l l   _           _
l h:::j           _
l                 _ 40 m
l                 _
l                 _
h:::::::::::j::::::j
              20 m
            _::::::w

_`[{para as atividades 79 e 80, pea orientao ao professor_`]

79. Calcule a rea e o permetro desta regio _`[no adaptada_`]:
80. Os polgonos _`[no adaptados_`] esto desenhados em papel quadriculado de 1 cm. Em cada polgono, utilize as medidas convenientes para calcular a rea da regio plana determinada por ele. 
<F+>
<R->

<255>
<p>
<R+>
Uma grande descoberta envolvendo 
  reas: a relao de Pitgoras 
<R->

  H cerca de 2500 anos, um famoso matemtico grego chamado 
 Pitgoras estudou uma interessante regularidade envolvendo as medidas dos lados nos tringulos retngulos. 
  Examine o tringulo {a{b{c 
 _`[no adaptado_`]. Ele tem um ngulo reto em A e lados de medidas a, b e c. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
  
  Observe que: 
<R+>
<F->
 a regio quadrada em que cada lado mede b contm 4 regies triangulares do papel e sua rea  b2; 
 a regio quadrada em que cada lado mede c contm 4 regies 
<p>
  triangulares do papel e sua rea  c2; 
 a regio quadrada em que cada lado mede a contm 8 regies triangulares do papel e sua rea  a2. 
<F+>
<R->
  Como 8=4+4, podemos escrever: a2=b2+c2. 
  Esse fato pode ser comprovado em todos os tringulos retngulos, ou seja: 

<R+>
Em todo tringulo retngulo, o quadrado da medida do lado maior  igual  soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados. Essa relao  chamada de relao de Pitgoras. 

a2=b2+c2 
<p>
Atividades

_`[{para as atividades de 81 a 83, pea orientao ao professor_`]

81. Verifique a relao de Pitgoras nestes outros dois tringulos retngulos _`[no adaptados_`]. 
<R->
<256> 
<R+>
82. Construa em uma folha de papel sulfite um tringulo retngulo qualquer. Indique as medidas dos dois lados menores por b e c e a do lado maior por a, como mostra a figura,  esquerda. Em seguida, construa trs regies quadradas: uma de lado medindo a, outra de lado medindo b e outra de lado medindo c, como mostra a figura,  direita. 
<R->

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Pinte a regio quadrada de lado a de marrom, a de lado b de 
<p>
 lils e a de lado c de verde. Faa recortes e colagens com essas figuras de modo que a regio pintada de marrom (rea a2) seja totalmente coberta pelas regies lils (rea b2) e verde (rea c2). 
  Uma dica: recorte a regio lils nos tracejados. 
  Com essa montagem voc vai verificar experimentalmente que a2=b2+c2, ou seja, a relao a que Pitgoras chegou. 
<F->
<R+>
83. Copie e complete a tabela a seguir, usando os tringulos das figuras _`[no adaptadas_`]. Registre o tipo de tringulo quanto aos ngulos: acutngulo, obtusngulo ou retngulo. Depois, constate que a relao de Pitgoras s vale no tringulo retngulo. 
<p>
_`[{tabela adaptada em cinco colunas_`]
1 coluna: Tringulo
2 coluna: Tipo de tringulo
3 coluna: b2+c2
4 coluna: a2
5 coluna: a2  igual b2+c2?

!:::::::::::::::::::::::::::
l 1   _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _
r:::::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l I    _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' _
r:::::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l II  _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' _
r:::::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l III _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' _
r:::::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l IV  _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' _
r:::::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l V    _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' _
h:::::::j:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>
<R->

<257>
<R+>
<F->
84. Use a relao de Pitgoras para resolver estas situaes. 
<p>
_`[{figura adaptada_`]

      pccccccce
      l       _ e
      l       _  e
      lprdio _   e
      l       _    e
24 m l       _     e x
      l       _      e
      l       _       e
      l       _        e
      l       _::      e
      l       __-_       e
      h:::::::j::j::::::::h
              r:: 18 m ::w

a) Um fio vai ser esticado do topo deste prdio at um ponto no cho, como indica a figura. Qual deve ser o comprimento do fio? 
b) Um canteiro que tem a forma triangular e um ngulo reto vai ser cercado de tijolos. Qual  
<p>
  o valor de x? Qual  o permetro do canteiro? 

         12 m
     pcccccccccccm
     l          i 
     l        i   
   x l      i 15 m     
     l    i       
     l  i
     li         
<F+>
<R->             

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
6. Frmulas para o clculo da 
  medida de volume 
<R->

  Vamos estudar as frmulas que nos possibilitam achar a medida do volume dos principais tipos de poliedros. 

Volume de um paraleleppedo 

  Voc se lembra de como determinar a medida do volume de um para-
<p>
 leleppedo ou bloco retangular? Vamos recordar juntos. Voc pode contar quantos cubinhos de 1 unidade cabem nele ou multiplicar as medidas de suas trs dimenses (comprimento, largura e altura). 
  Acompanhe o exemplo a seguir. 
  Neste caso, u  a unidade de medida de comprimento e u3  a unidade de medida de volume. 

<R+>
<F->
_`[{cubo no adaptado_`]
Dimenses: 5 u, 2 u e 3 u.
<F+>
<R->

  Contando os cubinhos: V=30 u3 
  Efetuando a multiplicao das medidas das trs dimenses: V=5.2.3 :> V=30 u3 
  De modo geral, a medida do volume de um paraleleppedo  dada por: 

V=a.b.c 

<258>
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
85. Qual  a medida do volume de um cubo de 10 cm de aresta?  
86. Escreva uma frmula geral para determinar a medida do volume do paraleleppedo e do cubo _`[no adaptados_`]: 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
87. Qual  o volume da caixa, do aqurio e da piscina? 

_`[{figuras adaptadas_`]
Dimenses da caixa: 8 cm, 7 cm e 5 cm
Dimenses do aqurio: 75 cm, 40 cm e 60 cm
Dimenses da piscina: 12 m, 6 m e 2 m
<p>
Volume de um prisma qualquer 
<F+>
<R->

  Voc pode calcular experimentalmente o volume de um prisma qualquer. 
  Primeiro construa um slido cujo volume seja de 1 unidade. Por exemplo, um cubo. 
  Depois, enchendo o slido 
 (unidade) de areia, verifique quantas vezes o contedo da unidade cabe no prisma cujo volume voc quer medir, despejando a areia dentro dele. 
  Com o valor obtido,  possvel comprovar que: 

<R+>
O volume de um prisma qualquer  igual ao produto da rea da base pela altura. 
<R->

  Em smbolos: V=B.H, sendo B a rea da base e H a medida da altura. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

<259>
<p>
Volume de uma pirmide 

   possvel constatar experimentalmente que uma pirmide que tem a mesma base e a mesma altura de um prisma possui volume igual a #,c do volume desse prisma.

<R+>
<F->
Volume do prisma: V=B.H 
B: rea da base
H: altura 

Volume da pirmide: V=#,c.B.H ou V=?B.H*~3 
B: rea da base da pirmide 
H: medida da altura da pirmide 
<F+>
<R->

  Pode-se verificar essa relao experimentalmente enchendo uma pirmide de areia e despejando-a em um prisma de mesma base e mesma altura. 
  Voc ver que o contedo da pirmide cabe trs vezes no prisma, ou seja, o volume da pirmide  #,c do volume do prisma. 
<p>
Atividades

<R+>
<F->
88. Determine o volume da caixa e da cunha. 

_`[{figuras adaptadas_`]
Dimenses da caixa: 5 m e 5 m -- altura 8 m.
Dimenses da cunha: base -- 3 cm, 4 cm e 5 cm; altura -- 7 cm.

89. Determine o volume desta pirmide cuja base  uma regio retangular de 5 cm por 6 cm e cuja altura  de 9 cm. 
90. Pedro ganhou uma pirmide de acrlico com as seguintes caractersticas: base quadrada, com lado de 8 cm e altura de 12 cm. Qual  o volume dessa pirmide? 
<F+>
<R->
<260>
91. Volume e capacidade 
  Em uma caixa-d'gua com 1 m3 de volume cabem 1.000 L de gua. Calcule quantos litros de gua 
<p>
 cabem em um reservatrio que tem a forma de um bloco retangular com dimenses de 2 m, 1,5 m e 70 cm.  
<R+>
<F->
92. Um tanque com a forma de bloco retangular tem as dimenses indicadas na figura. Se uma torneira despeja 25 L de gua por minuto, em quanto tempo ela encher esse tanque? 

_`[{figura adaptada_`]
Dimenses do tanque:
Comprimento: 2 m;   
Largura: 1,5 m;
Altura: 1 m.

93. Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-d'gua cbica para que sua capacidade seja de 8.000 L? 
<F+>
<R->

94. Volume e massa 
  Os dois recipientes mostrados nas figuras esto cheios de um mesmo material. A quantidade contida no recipiente cbico tem massa de 600 g. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{figuras adaptadas_`]
Dimenses do cubo: 10 cm, 10 cm e 10 cm.
Dimenses do bloco retangular: 15 cm, 6 cm, 8 cm.

a) Qual  a massa da quantidade contida no outro recipiente? 
b) Qual  a densidade desse material? 
c) Quando colocado na gua, ele flutua ou afunda?  

95. Projeto em equipe: permetro, rea e volume no dia a dia 
a) Pesquisem o valor do permetro urbano do seu municpio. Pesquisem tambm a rea do seu municpio e do seu estado. 
b) Procurem descobrir o volume de gua (em metros cbicos) gasto mensalmente na casa de cada membro da equipe. Faam uma relao de procedimentos para economizar gua. 
<p>
c) Calculem o permetro, a rea e o volume da sua sala de aula. 
d) Para estimar quantas pessoas h em uma concentrao  usado o seguinte procedimento: calcular a rea do local em metros quadrados e multiplicar essa rea por 4 se as pessoas esto mais espaadas umas das outras ou por 6 se estiverem mais juntas. Calculem quantas pessoas cabem na quadra de esportes da escola, nos dois casos. 

96. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno.
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<261>
Reviso cumulativa 

<R+>
<F->
1. Determine a rea das seguintes regies planas _`[no adaptadas_`] usando quadradinho como unidade: 
<p>
Responda: Qual  o permetro da figura B usando r::w como unidade? 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
2. Um prisma reto de base triangular tem as seguintes caractersticas: 
 A base  uma regio triangular com lados de 15 cm, 20 cm e 25 cm. 
 A altura  de 10 cm. 
Calcule o volume desse prisma. 

3. O permetro de um retngulo  igual a 3,2 dm e a medida da base  igual ao triplo da medida da altura. Qual  a sua rea, em cm2? 
<p>
4. Considere uma pista circular com 24 m de dimetro e os pontos A, B, C e D nas posies indicadas na figura _`[no adaptada_`]. Use ^p=3,1 e calcule a distncia percorrida nos seguintes deslocamentos: 
a) de A at C. 
b) de A at B, no sentido anti-horrio. 
c) de A at D, no sentido anti-horrio. 
d) no sentido horrio: sai de C, d uma volta completa e vai at B.
<F+>
<R->

<F->
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  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
<F->
5. Calcule o permetro e a rea de duas regies quadradas, com o lado da segunda regio medindo o dobro do lado da primeira. Depois, responda: 
a) O que ocorre com o permetro de uma regio quadrada quando se dobra a medida do lado?  
<p>
b) O que ocorre com a rea de uma regio quadrada quando se dobra a medida de seu lado?  
c) O comprimento do lado e o permetro so grandezas diretamente proporcionais? 
d) O comprimento do lado e a rea so grandezas diretamente proporcionais?  

6. Calcule o volume de dois cubos, com cada aresta do segundo medindo o dobro da aresta do primeiro. Depois responda:
a) O que ocorre com o volume do cubo quando se dobra a medida de sua aresta? 
b) O comprimento da aresta e o volume so grandezas diretamente proporcionais? 

7. Uma pirmide de 12 m de altura tem por base uma regio retangular cujas dimenses so 5 m e 3 m, respectivamente. Determine o volume dessa pirmide. 
<p>
8. A soma das medidas de todas as arestas de um cubo  igual a 36 m. Calcule a medida do seu volume, em dm3.  

9. Resolva estas equaes, em _r: 
a) x~5-3~10=x
b) y~10+y~5=3y~4-9 
c) ?2a-4*~9=a-3~6 
d) x~3-x+8=2x-?3x-1*~9 
e) x~2+3=1~6-x 
f) x~5+x~2+x~3=1~2 
<F+>
<R->

<262>
<R+>
<F->
_`[{para as atividades 10 e 11, pea orientao ao professor_`]

10. Desenhe: 
a) uma circunferncia de raio medindo 2 cm. 
b) um crculo de 1,5 cm de raio e depois pinte-o. 
c) um ngulo central de 120 em uma circunferncia com 3 cm de raio. 
d) um crculo com 3 cm de raio e depois pinte um setor circular de 225. 
<p>
11. Observe as peas do tangram _`[no adaptado_`] obtidas a partir de uma regio quadrada Q. 
Copie a figura e registre as trs afirmaes verdadeiras: 
a) a rea de Q1  #,h da rea de Q. 
b) a rea de P1  igual  rea de T5. 
c) a rea de T2  o triplo da rea de T4. 
d) a rea de Q1  a metade da rea de T1. 

12. Qual destes  o valor de 3-1+-13? 
a) -4. 
b) -1#,c. 
c) -2.  
d) -#;c. 

13. Considerando todos os paralelogramos, copie as trs afirmaes verdadeiras, dentre estas: 
<p>
a) Os lados opostos so congruentes. 
b) Os ngulos opostos so congruentes. 
c) As diagonais so congruentes. 
d) As diagonais se cortam ao meio. 

14. Copie e assinale a alternativa correta. De todos os retngulos de permetro igual a 12 cm, o que determina regio de maior rea  o de: 
a) 9 cm2.  
b) 8 cm2. 
c) 10 cm2.
d) 12 cm2. 

15. A vasilha I  cbica com arestas de 10 cm. A vasilha II tem a forma de um bloco retangular com dimenses de 10 cm, 20 cm e 40 cm. Enchendo a vasilha I de gua e despejando na II, que est vazia, esta ter sua capacidade ocupada em quantos por cento? 
<p>
16. A expresso x+5x-1-x+7x-7  equivalente a qual das expresses a seguir? 
a) 22x-27 
b) 4x+11  
c) 44 
d) 2x2-4x-11

17. Em que item as medidas dos trs lados, em centmetros, correspondem a um tringulo retngulo?  
a) 20, 21 e 22.  
b) 20, 21 e 25.  
c) 20, 21 e 29.
d) 20, 21 e 30.

18. Em seu caderno, associe cada operao das letras maisculas com o seu resultado das letras minsculas: 
A) 3a-1+a-4  
B) ?3a2-a*~3a, para a=0  
C) 3a-12  
D) 3a-1a+1  
<p>
E) 3a-1-2a-1 
F) 3a-13a+1 
G) (3a2)3-(2a3)2 
a) 9a2-1
b) a
c) 4a-5
d) 3a2+2a-1
e) 9a2-6a+1 
f) 23a6 
g) a-#,c 

19. Os possveis valores reais de x para o sistema 8-2xox-7 e 3x~5-2~3=4 so:
a) x5. 
b) 5x=7#=i.
c) xo=7#=i. 
d) xo=5. 
 
20. Efetue e, se possvel, simplifique: x+52-x+5x-5 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<263>
<p>
<R+>
Para ler, pensar e divertir-se 

Ler 

Modelagem matemtica: qual 
  embalagem  mais econmica? 
<R->

  Vamos supor que uma indstria deseja comercializar seu produto em embalagens cilndricas, como as de ervilha, por exemplo. 
  A meta da indstria  fazer com o menor custo possvel uma embalagem que comporte o mesmo volume. 
 A entra a Matemtica: qual modelo de cilindro  o melhor para essa situao, isto , qual modelo satisfaz a meta da indstria? 
   o cilindro equiltero, ou seja,  o cilindro circular reto em que a medida da altura  igual  medida do dimetro da base. Os matemticos provaram que, de todos os cilindros de mesmo volume, o cilindro equiltero  o que possui a menor rea total. 
<p>
  Assim, se a indstria deseja comercializar seu produto em embalagens cilndricas que gastem o mnimo de material em sua fabricao, ela deve optar pelo cilindro equiltero.  o caso, por exemplo, de algumas latas de leite condensado que so cilindros equilteros. 

Pensar 

  Como voc pode recortar a figura em preto de modo a preencher 
 a regio retangular _`[no adaptada_`]? 
  Reproduza as figuras em papel sulfite e confira. 

<F->
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  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Divertir-se 

<R+>
<F->
_`[{tirinha adaptada_`]
Mafalda e uma amiga esto sentadas e a amiga diz para Mafalda: "Primeiro vou me casar, sabe? Depois vou ter filhos. Ento vou comprar uma casa bem grande e um carro bem bonito, e depois Joias, e da vou ter netinhos. Minha vida vai ser assim. No  lindo?" 
Mafalda responde: "... o nico defeito...  que isso no  vida,  fluxograma!" 

Quino, *Toda Mafalda*, So Paulo, Martins Fontes. p. 26.
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Stima Parte
